TIME PROBLEM IN QUANTUM MECHANICS AND ITS ANALYSIS BY THE CONCEPT OF WEAK MEASUREMENTS
J. Ruseckas and B. Kaulakys
Vilnius University Research Institute of Theoretical Physics and Astronomy, A. Goštauto 12, LT-01108 Vilnius, Lithuania

Received 31 May 2004

Dedicated to the 100th anniversary of Professor A. Jucys

The model of weak measurements is applied to various problems, related to the time problem in quantum mechanics. The review and generalization of the theoretical analysis of the time problem in quantum mechanics based on the concept of weak measurements are presented. A question of the time interval the system spends in the specified state, when the final state of the system is given, is raised. Using the concept of weak measurements the expression for such time is obtained. The results are applied to the tunnelling problem. A procedure for the calculation of the asymptotic tunnelling and reflection times is proposed. Examples for δ-form and rectangular barrier illustrate the obtained results. Using the concept of weak measurements the arrival time probability distribution is defined by analogy with the classical mechanics. The proposed procedure is suitable to the free particles and to particles subjected to an external potential, as well. It is shown that such an approach imposes an inherent limitation to the accuracy of the arrival time definition.

LAIKO PROBLEMA KVANTINĖJE MECHANIKOJE IR JOS ANALIZĖ NAUDOJANT SILPNUS MATAVIMUS
J. Ruseckas, B. Kaulakys
VU Teorinės fizikos ir astronomijos institutas, Vilnius, Lietuva

Pateikta laiko problemos kvantinėje mechanikoje analizės silpnų matavimų teoriniu pagrindu apžvalga. Tuneliavimo trukmės problema yra bendresnės laiko problemos kvantinėje mechanikoje atskiras atvejis. Problema spręsta laikui matuoti naudojant silpnų matavimų teoriją. Tokiam matavimo modeliui rasta trukmės išraiška (13), kai fizikinis dydis turi konkrečią vertę arba yra tam tikroje verčių srityje. Tos išraiškos atskiras atvejis yra tuneliavimo trukmė, t. y. trukmė, kurią tuneliuojanti dalelė praleidžia po potencialiniu barjeru.
Nagrinėjama trukmė, kuriai esant fizikinis dydis turi konkrečią vertę su sąlyga, kad sistema yra tam tikroje galinėje būsenoje. Naudojamu matavimo modeliu galima gauti šios trukmės išraišką (15). Taip apibrėžta trukmė turi daug trukmės klasikinėje mechanikoje savybių, tačiau ne visuomet turi prasmę. Galima rasti trukmę, kuriai esant fizikinis dydis turi konkrečią vertę su sąlyga, kad sistema yra konkrečioje galinėje būsenoje, tik kai yra patenkinama (19) salyga. Priešingu atveju matavimo rezultatas priklauso nuo konkretaus matavimo būdo, ir vienareikšmis atsakymas yra negalimas. Kai (19) salyga yra netenkinama, galima apibrėžti du trukmę apibūdinančius dydžius (16) ir (17). Šie dydžiai gali būti taikomi ir tuneliavimo trukmės problemai nagrinėti.
Tuneliavimo trukmei nagrinėti naudojome Steinberg’o [34] pasiūlytą būdą, kuris parodo operatorių nekomutatyvumo pasekmes ir asimptotinės trukmės vertinimo galimybę. Mūsų modelyje taip pat pasireiškia Hartmann’o ir Fletcher’io efektas: platiems barjerams efektyvus greitis yra labai didelis, nes barjero srities indėlis į trukmę yra labai mažas. Ar šis greitis didesnis už šviesos greitį c, įvertinti nepavyksta. Tam reikėtų spręsti reliatyvistines lygtis.
Pasiūlytas atvykimo laiko iš vienos pusės pasiskirstymo tankio apibrėžimas. Šis apibrėžimas yra išplėstas į kvantinę mechaniką, naudojant silpnus matavimus. Pasiūlytas būdas yra tinkamas tiek laisvoms dalelėms, tiek ir dalelėms, esančioms išoriniame potenciale. Randama ne tik atvykimo laiko pasiskirstymo tankio išraiška, bet ir būdas jam išmatuoti. Tačiau šis būdas neduoda vienareikšmio atsakymo. Analogiškai kompleksinei tuneliavimo trukmei, yra apibrėžtas kompleksinis atvykimo laiko pasiskirstymo tankis. Parodyta, kad taikant pasiūlytą metodą, atvykimo laiko nustatymo tikslumas kvantinėje mechanikoje yra ribotas.