STABILIZATION OF UNSTABLE PERIODIC ORBIT IN CHAOTIC DUFFING–HOLMES OSCILLATOR BY SECOND ORDER RESONANT NEGATIVE FEEDBACK*
A. Tamaševičius^a, E. Tamaševičiūtė^a,b, G. Mykolaitis^a, and S. Bumelienė^a
aSemiconductor Physics Institute, A. Goštauto 11, LT-01108 Vilnius, Lithuania
E-mail: tamasev@pfi.lt
^bDepartment of Radiophysics, Vilnius University, Saulėtekio 9, LT-10222 Vilnius, Lithuania

Received 13 June 2007

We consider a second order linear resonator inserted in the negative feedback loop of the chaotic Duffing–Holmes oscillator for stabilizing unstable periodic orbit. Mathematical model is discussed and numerical simulations are presented. An analogue electronic controller is described. Experiments have been performed with an electronic version of the Duffing–Holmes oscillator. Stabilization of periodic oscillations can be achieved with a small control force.

Keywords: nonlinear dynamics, low-dimensional chaos, control of chaos

NESTABILIOS PERIODINĖS ORBITOS STABILIZAVIMAS CHAOTINIAME DUFFING’O IR HOLMES’O OSCILIATORIUJE ANTROS EILĖS REZONANSINIU NEIGIAMU GRĮŽTAMUOJU RYŠIU
A. Tamaševičius^a, E. Tamaševičiūtė^a,b, G. Mykolaitis^a, and S. Bumelienė^a
aPuslaidininkių fizikos institutas, Vilnius, Lietuva
^bVilniaus universitetas, Vilnius, Lietuva

Aprašėme labai paprastą nestabilių periodinių orbitų, esančių chaotiniuose atraktoriuose, stabilizavimo būdą, paremtą antros eilės rezonansiniu neigiamu grįžtamuoju ryšiu (RNGR2). Skirtingai nuo Pyrago uždelstojo grįžtamojo ryšio (UGR) metodo, RNGR2 metode panaudojama ne vėlinimo linija, bet antros eilės rezonatorius. Toks metodas jau anksčiau buvo pritaikytas periodinių virpesių generatorių sinchronizacijos riboms išplėsti. Panašiai kaip ir UGR metode, naudojant RNGR2 metodą nereikia žinoti valdomosios sistemos modelio, tačiau eksperimentiškai realizuoti RNGR2 valdiklį yra žymiai lengviau nei UGR valdiklį.
Šiame darbe išnagrinėjome išorinės periodinės jėgos veikiamą netiesinį Duffing’o ir Holmes’o osciliatorių, kuris plačiame parametrų ruože elgiasi chaotiškai. Pateikėme diferencialinių lygčių skaitinius sprendinius. Metodą išbandėme ir eksperimentiškai. Šiam tikslui sukūrėme analoginį RNGR2 valdiklį. Jo pagrindinis elementas yra antros eilės LC virpesių kontūras, kurio rezonansinis dažnis atitinka išorinės periodinės jėgos dažnį. RNGR2 valdiklį pritaikėme elektroninio Duffing’o ir Holmes’o osciliatoriaus valdymui. Prijungus valdiklį, po neilgo pereinamojo proceso osciliatorius pereina iš chaotinių virpesių į periodinių virpesių režimą. Periodinių virpesių dažnis šiuo atveju sutampa su išorinės jėgos dažniu, t. y. stabilizuojama pirmoji nestabili periodinė orbita. Naudojant RNGR2 metodą, valdančioji jėga nevirsta nuline kaip UGR metode, bet išlieka baigtinio dydžio (apie 10 %, lyginant su osciliatoriaus išėjimo signalu). RNGR2 metodas nekeičia tik pirmosios periodinių virpesių harmonikos, bet gali keisti aukštesniąsias harmonikas. Skaitiniai ir eksperimento rezultatai rodo, kad valdančios jėgos sudėtyje vyrauja antrosios harmonikos sandas, todėl RNGR2 valdiklį nesunku patobulinti, įjungiant papildomą antros eilės rezonatorių, suderintą antrajai harmonikai, t. y. paverčiant jį RNGR4 valdikliu.